Question

已知f（x）滿足f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)其中a＞0且a≠1．
（1）對于x∈（-1，1）時(shí)，試判斷f（x）的單調(diào)性，并求當(dāng)f（1-m）+f（1-m²）＜0時(shí)，求m的值的集合．
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先由換元法求出f（x）的解析式，由定義判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，應(yīng)用函數(shù)的奇偶性將已知不等式轉(zhuǎn)化為f（1-m）＜f（m²-1），再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

求解即可．
（2）由（1）中的單調(diào)性可直接轉(zhuǎn)化為f（2）-4≤0，解不等式即可．

解答：解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，所以f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，即f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)
當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)閍^x-a^-x為增函數(shù)，且

a

a2-1

＞0，所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)閍^x-a^-x為減函數(shù)，且

a

a2-1

＜0，所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
綜上所述，f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
又因?yàn)閒（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，可得

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

解得1＜m＜

2

，即m的值的集合為{m|1＜m＜

2

}
（2）由（1）可知，f（x）為增函數(shù)，故x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)數(shù)
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）=

a

a2-1

(a2-a-2)=

a

a2-1

a4-1

a2

=

a2+1

a

＜4
解得2-

3

＜a＜2+

3

又a≠1，可得符合條件的a的取值范圍是(2-

3

)∪(1，2+

3

)

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷和應(yīng)用：解不等式，綜合性較強(qiáng)．