精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知
a
=(5
3
cosx，cosx)
b
=(sinx，2cosx)，函數f（x）=
a
•
b
+|
b
|2．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調減區(qū)間；
（3）當
π
6
≤x≤
π
2
時，求函數f（x）的值域．
分析：（1）根據向量的數量積公式，結合二倍角公式、輔助角公式化簡函數，利用周期公式，可求函數f（x）的最小正周期；
（2）由2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，從而可得f（x）的單調減區(qū)間；
（3）由
π
6
≤x≤
π
2
，可得
π
2
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，從而可求函數f（x）的值域．
解答：解：（1）∵
a
=(5
3
cosx，cosx)，
b
=(sinx，2cosx)，
∴函數f（x）=
a
•
b
+|
b
|2=5
3
sinxcosx+sin2x+6cos2x=
5
3
2
sin2x+
1-cos2x
2
+3(1+cos2x)
=
5
3
2
sin2x+
5cos2x
2
+
7
2
=5sin（2x+
π
6
）+
7
2

∴f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π；
（2）由2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z
∴f（x）的單調減區(qū)間為[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）
（3）∵
π
6
≤x≤
π
2

∴
π
2
≤2x+
π
6
≤
7π
6

∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
∴1≤f（x）≤
17
2

即f（x）的值域為[1，
17
2
]．
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查函數的單調性與值域，化簡函數是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知曲線M與曲線N：ρ=5
3
cosθ-5sinθ關于極軸對稱，則曲線M的方程為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C與曲線ρ=53cosθ-5sinθ關于極軸對稱,則曲線C的方程是(　　)

A.ρ=-10cos(θ-)

B.ρ=10cos(θ-)

C.ρ=-10cos(θ+)

D.ρ=10cos(θ+)

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C與曲線ρ=53cosθ-5sinθ關于極軸對稱,則曲線C的方程是(　　)

A.ρ=-10cos(θ-)

B.ρ=10cos(θ-)

C.ρ=-10cos(θ+)

D.ρ=10cos(θ+)

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：安徽模擬 題型：單選題

已知曲線M與曲線N：ρ=5
3
cosθ-5sinθ關于極軸對稱，則曲線M的方程為（　　）
A．ρ=-10cos(θ-
π
6
)		B．ρ=10cos(θ-
π
6
)
C．ρ=-10cos(θ+
π
6
)		D．ρ=10cos(θ+
π
6
)

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C與曲線ρ=53cosθ-5sinθ關于極軸對稱,則曲線C的方程是(    )

A.ρ=-10cos(θ-)               B.ρ=10cos(θ-)

C.ρ=-10cos(θ+)               D.ρ=10cos(θ+)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案