Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足：S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）比較的大小（n∈N^*）；
（3）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=1-a_n，解得 ．a(chǎn)_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1，從而得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知f（x）的最大值是，從而可以比較大��；
（3）由條件可知且“=”成立的條件是x=a_i，從而可證．
解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1-a₁，解得 ．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1即
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為，公比為 的等比數(shù)列，∴
（2）令，構(gòu)造函數(shù)，則，所以f（x）的最大值是，∴，∴
（3）由（2）可知且“=”成立的條件是x=a_i，
所以：，
令，則，
所以：
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和不等式的證明，解題時(shí)要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于難題