精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)三棱錐S-ABC的三個(gè)側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．
分析：（1）利用已知條件，證明底面三角形是正三角形，證明頂點(diǎn)S在底面的射影是底面的中心，就證明S-ABC為正三棱錐；
（2）SA=a，只要求出正三棱錐S-ABC的側(cè)高SD與底面邊長，即可求S-ABC的全面積．
解答：（1）證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；
頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，兩個(gè)條件缺一不可．
作三棱錐S-ABC的高SO，O為垂足，連接AO并延長交BC于D．
因?yàn)镾A⊥BC，所以AD⊥BC．又側(cè)棱與底面所成的角都相等，
從而O為△ABC的外心，OD為BC的垂直平分線，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC為正三角形，且O為其中心．所以S-ABC為正三棱錐．

（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=
3
2
a，AO=
1
2
a．因O為重心，所以AD=
3
2
AO=
3
4
a，
BC=2BD=2ADcot60°=
3
2
a，OD=
1
3
AD=
1
4
a．
在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（
3
2
a）2+（
1
4
a）2=
13
16
，則SD=
13
14
a．
于是，（SS-ABC）全=
1
2
•（
3
2
a）2sin60°+3•
1
2
•
13
4
a•
3
2
a=
3(
3
+
39
)
16
a2．
點(diǎn)評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn)，將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•上饒二模）如圖，設(shè)三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分別等于α1，α2，α3．記△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面積分別為S1，S2，S3，S，則下列四個(gè)命題：（1）Si=Scosαi（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，則∠BAC=60°（3）S2=S12+S22+S32．（4）α1，α2，α3的取值可以分別是30°，45°，60°．
其中正確命題的序號是
（1）（2）（3）
（1）（2）（3）
（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)三棱錐S-ABC的三個(gè)側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：9.10 棱柱與棱錐（解析版） 題型：解答題

如圖，設(shè)三棱錐S-ABC的三個(gè)側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

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