已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1

(1)設(shè)bn=an+1－2an(n=1,2,…),求證{bn}是等比數(shù)列;

(2)設(shè)cn=(n=1,2,…),求證{cn}是等差數(shù)列；

（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.

答案：
解析：

解：（1）∵Sn+1=4an+2　　　　　　　　　　　　　　  ①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   

∴Sn+2=4an+1+2  　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　  ②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   

②－①得Sn+2－Sn+1=4an+1－4an(n=1,2,…)，即an+2=4an+1－4an

an+2－2an+1=2(an+1－2an)

∵bn=an+1－2an(n=1,2,…)

∴bn+1=2bn

由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.

由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5

∴b1=a2－2a1=3,∴bn=3·2n－1

(2)∵cn= (n=1,2,…),∴cn+1－cn=

將bn=3·2n－1代入，得cn+1－cn=(n=1,2,…)

由此可知：數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，c1== ,故cn=+

(3)∵cn=

∴an=2n·cn=(3n－1)·2n－2(n=1,2,…)

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an－1+2=(3n－4)·2n－1+2.

由于S1=a1=1也適合于此式,∴前n項(xiàng)公式為Sn=(3n－4)·2n－1+2

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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