【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)的直線的斜率存在且不為0，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求的最大值．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】

試題分析：

(1)設(shè)直線的斜率為（），聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得．結(jié)合韋達(dá)定理可得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為．據(jù)此計(jì)算可得直線的斜率為，則.

(2)考查．換元令，則．結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，取最大值3，此時(shí)取最大值．

試題解析：

（1）證明：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為，

聯(lián)立方程組消去可得．

設(shè)，，則于是有，

所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

又直線的斜率，因此直線的方程為，它與直線的交點(diǎn)，故直線的斜率為，于是．　

因此.

（2）解：記

．

令，則．

因?yàn)?/span>，所以．

故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值3．

從而當(dāng)時(shí)，取最大值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距為 2，一條準(zhǔn)線方程為，為橢圓上一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程；

(3)若，且，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某港口有一個(gè)泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位停靠的時(shí)間（單位：小時(shí)），如果停靠時(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過(guò)半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，以此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

停靠時(shí)間

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

輪船數(shù)量

12

12

17

20

15

13

8

3

（Ⅰ）設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均�？繒r(shí)間為小時(shí)，求的值；

（Ⅱ）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位�？�小時(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時(shí)必須等待的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，幾何體AMDCNB是由兩個(gè)完全相同的四棱錐構(gòu)成的幾何體，這兩個(gè)四棱錐的底面ABCD為正方形，，平面平面ABCD.

(1)證明:平面平面MDC.

(2)若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏．某機(jī)構(gòu)組織了一場(chǎng)詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽，將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，從中隨機(jī)抽取100名選手進(jìn)行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)與人數(shù)的條形圖．

(1)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為選手成績(jī)優(yōu)秀與文化程度有關(guān)？

優(yōu)秀

合格

總計(jì)

大學(xué)組

中學(xué)組

總計(jì)

(2)若參賽選手共6萬(wàn)名，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；

(3)在優(yōu)秀等級(jí)的選手中選取6名，在良好等級(jí)的選手中選取6名，都依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為a，在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為b，求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解(x，y)的概率．

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）設(shè)AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)；

（2）若成績(jī)小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本中在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)；

（3）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，已知，，

（1）求證：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，圓

（1）若圓、相交，求的取值范圍；

（2）若圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且，求的值；

（3）已知點(diǎn)，圓上一點(diǎn)，圓上一點(diǎn)，求的最小值的取值范圍．

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