Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求證：λ₁+λ₂=-10．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，即b，利用離心率求得a和c關(guān)系進(jìn)而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）先根據(jù)橢圓的方程求得右焦點(diǎn)，設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程整理后利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而根據(jù)，，和利用題設(shè)條件求得λ₁和λ₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得λ₁+λ₂．
解答：解：（1）解：設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），
拋物線方程化為x²=4y，其焦點(diǎn)為（0，1）
則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，1），即b=1
由，∴a²=5，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）證明：易求出橢圓C的右焦點(diǎn)F（2，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y），顯然直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入方程并整理，
得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴，
又，，，
，，而，，
即（x₁-0，y₁-y）=λ₁（2-x₁，-y₁），（x₂-0，y₂-y）=λ₂（2-x₂，-y₂）
∴，，
所以
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，知識(shí)的遷移能力以及運(yùn)算能力．