Question

已知直線l₁經過兩點A（3，4），B（0，-5）．
（1）求直線l₁關于直線l₀：y=x對稱的直線l₂方程；
（2）直線l₂上是否存在點P，使點P到點F（1，0）的距離等于到直線l：x=-1的距離，如果存在求出P點坐標，如果不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用點斜式求得直線l₁的方程，再利用關于直線y=x對稱的直線的特點，求出直線l₂方程，也可理解為求一次函數的反函數；
（2）先利用拋物線的定義，證明點P一定在拋物線y²=4x上，故只需求直線l₂與拋物線的交點即可，通過聯立兩曲線方程即可解得符合條件的點的坐標

解答：解：（1）直線l₁的斜率為k=

4+5

3-0

=3，
由點斜式得直線l₁的方程為y+5=3x，即3x-y-5=0．
∵點（x，y）關于y=x對稱的點為（y，x）
∴將已知直線的x、y互換即得對稱直線方程
∴直線l₁關于直線l₀：y=x對稱的直線l₂方程為x-3y+5=0．
（2）假設存在符合條件的點P，因為點P到點F（1，0）的距離等于到直線l：x=-1的距離，
∴由拋物線的定義可知，點P在拋物線y²=4x上，
又∵點P在直線l₂上，∴由

x-3y+5=0 y2=4x

，
消去x得，y²-12y+20=0，解得y₁=2，y₂=10，
則x₁=1，x₂=25，
∴存在符合條件的點P，其坐標分別為P（1，2）或（25，10）．

點評：本題主要考查了直線方程，對稱直線方程的求法，拋物線的定義，曲線交點坐標的求法，轉化化歸的思想方法