Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點，AB=AC．
（1）證明：DE⊥平面BCC₁
（2）設(shè)B₁C與平面BCD所成的角的大小為30°，求二面角A-BD-C．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC的中點F，判斷三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，AF⊥面 BCC₁ ，再證明ADEF為矩形，可證的DE⊥平面BCC₁ ．
（2）設(shè)AB=AC=1，AD=x，作EH⊥DF，，∠ECH為B₁C與平面BCD所成的角30°，sin30°==，求出x的值，作AM⊥BD，連CM，則∠AMC為二面角A-BD-C的平面角，由tan∠AMC==，求得∠AMC 的大�。�
解答：解：（1）證明：取BC的中點F，∵AB⊥AC，AB=AC，∴AF⊥BC．∵AA₁⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱．  AF⊥面 BCC₁ ．∵D、E分別為AA₁、B₁C的中點，
∴DA∥EF，DA=EF，故ADEF為矩形，∴AF∥DE，故 DE⊥平面BCC₁ ．
（2）設(shè)AB=AC=1，AD=x，由（1）可得 BC⊥AD，BC⊥AF，故BC⊥面ADEF，故 平面DBC⊥面ADEF．
作EH⊥DF，H為垂足，則 EH⊥平面DBC，∠ECH為B₁C與平面BCD所成的角30°，
  EH===． 直角三角形CEH中，sin30°===，
∴x=．
由題意得CA⊥面ABD，作AM⊥BD，連CM，則∠AMC為二面角A-BD-C的平面角，AM==，
tan∠AMC==，∴∠AMC=arctan，故二面角A-BD-C的大小為  arctan．
點評：本題考查證明線面平行的方法，求二面角的大小的方法，求出AD的長，是解題的關(guān)鍵．