Question

已知點F（0，1），一動圓過點F且與圓x²+（y+1）²=8內(nèi)切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點A（a，0），點P為曲線C上任一點，求點A到點P距離的最大值d（用a表示）．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為P（x，y），則動圓的半徑為r=

x2+(y-1)2

，又動圓與x²+（y+1）²=8內(nèi)切，故

x2+(y-1)2

=|2

2

-r|，由此能求出動圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設(shè)P（x，y），則|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分類討論能夠推導(dǎo)出d（a）=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為P（x，y），則動圓的半徑為r=

x2+(y-1)2

，
又動圓與x²+（y+1）²=8內(nèi)切，
∴

x2+(y-1)2

=|2

2

-r|，
整理得2x²+y²=2，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為2x²+y²=2．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴當(dāng)-a＜-1，即a＞1時，f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
當(dāng)-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，f（x）在[-1，-a]上是增函數(shù)，在[-a，1]上是減函數(shù)，
則[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
當(dāng)-a＞1，即a＜-1時，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴d（a）=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．…（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．