Question

已知函數f（x）=x³-ax，x∈[0，1]，關于x的不等式|f（x）|＞2的解集為空集，則滿足條件的實數a的取值范圍是（　�。�

A．[-1，0]

B．[-1，3]

C．{0}

D．[-1，+∞）

Answer 1

分析：由題意，x∈[0，1]，關于x的不等式|f（x）|＞2的解集為空集，等價于x∈[0，1]，關于x的不等式|f（x）|≤2恒成立，即|f（x）_max|≤2且|f（x）_min|≤2，分類討論，求出函數的最值即可．

解答：解：由題意，x∈[0，1]，關于x的不等式|f（x）|＞2的解集為空集，等價于x∈[0，1]，關于x的不等式|f（x）|≤2恒成立，即|f（x）_max|≤2且|f（x）_min|≤2
由f（x）=x³-ax可得f′（x）=3x²-a，
若a≤0，則f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，所以函數單調增，所以x=0時，f（x）_min=0，x=1時，f（x）_max=1-a，則|1-a|≤2，∴-1≤a≤3，∵a≤0，∴-1≤a≤0；
若3≥a＞0，則函數在[0，1]上單調減，所以x=0時，f（x）_max=0，x=1時，f（x）_min=1-a，則|1-a|≤2，∴-1≤a≤3，
∵3≥a＞0，，∴0＜a≤3；
若a＞3，則函數在[0，1]上單調增，所以x=0時，f（x）_min=0，x=1時，f（x）_max=1-a，則|1-a|≤2，∴-1≤a≤3，
∵a＞3，∴a∈∅；
綜上，滿足條件的實數a的取值范圍是[-1，3]
故選B．

點評：本題考查不等式的解集，考查轉化化歸思想，解題的關鍵是轉化為x∈[0，1]，|f（x）_max|≤2且|f（x）_min|≤2．