Question

已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x+

π

2

)，x∈R．
（ I） 求f（x）的最小正周期T
（ II） 求f（x）的最大值和最小值，并分別寫出使f（x）取最大值和最小值時(shí)的x的集合．
（ III） 用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)公式將f（x）化成一角一函數(shù)f(x)=

2

sin(x+

π

4

)后，
（ I） 利用三角函數(shù)求周期公式求解
（Ⅱ）利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最值及最值點(diǎn)．
（Ⅲ）將x+

π

4

看作整體，令x+

π

4

取0，

π

，2

，π，

3π

2

，2π，并求出對(duì)應(yīng)的x的值，列表，用五點(diǎn)畫圖法畫出函數(shù)圖象即可．

解答：解：f(x)=sinx+sin(x+

π

2

)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)…..（2分）
（Ⅰ）f（x）的最小正周期為T=

2π

1

=2π…（4分）
（Ⅱ）f（x）的最大值為

2

，此時(shí)x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，x的取值集合是{x|x=2kπ+

π

4

，k∈Z}…．（6分）f（x）的最小值-

2

，此時(shí)x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，x的取值 x的取值集合是{x|x=2kπ-

3π

4

，k∈Z}…..（8分）
（Ⅲ）列表：

x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 4	π 4	3π 4	5π 4	7π 4
f(x)= 2 sin(x+ π 4 )	0	2	0	- 2	0

描點(diǎn)連線得出圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)性質(zhì)、五點(diǎn)法作圖，考查了整體思想和作圖能力．