Question

已知函數(shù)y=loga(ax-1)（a＞0，且a≠1）
（1）求此函數(shù)的定義域；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為函數(shù)y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，若a＞1，求證：直線AB的斜率大于0．

Answer 1

分析：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1，故a^x＞a⁰．由此能求出此函數(shù)的定義域．
（2）由A，B為為函數(shù)y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，loga(ax1-1))，B(x2，loga(ax2-1))，故直線AB的斜率kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

，由此能夠證明直線AB的斜率大于零．

解答：（1）解：由a^x-1＞0，
得a^x＞1，
∴a^x＞a⁰…（1分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0…（2分）
當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0…（3分）
∴0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）；
a＞1時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）…．（5分）
（2）證明：∵A，B為函數(shù)y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，
∴可設(shè)A(x1，loga(ax1-1))，B(x2，loga(ax2-1))…（6分）
∴直線AB的斜率kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

…（8分）
∵A，B為圖象上任意不同的兩點(diǎn)，
不妨設(shè)x₁＞x₂…（9分）
∵a＞1，
∴ax1＞ax2，
∴ax1-1＞ax2-1，
∴loga(ax1-1)＞loga(ax2-1)…（11分）
∴kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

＞0，
即直線AB的斜率大于零…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和直線斜率的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．