Question

已知數(shù)列a₁,a₂,…,a₃₀,其中a₁,a₂,…,a₁₀是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差為d的等差數(shù)列;a₂₀,a₂₁,…,a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列(d≠0).

(1)若a₂₀=40,求d;

(2)試寫出a₃₀關(guān)于d的關(guān)系式,并求a₃₀的取值范圍;

(3)續(xù)寫已知數(shù)列,使得a₃₀,a₃₁,…,a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列,…,依次類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同(2)類似的問題〔(2)應(yīng)當(dāng)作為特例〕,并進(jìn)行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?

Answer 1

思路解析：

    前兩個(gè)小題較為容易,依據(jù)數(shù)列基本知識(shí)即可解決,問題(3)需要根據(jù)a₁,a₂,…,a₃₀、a₂₀,a₂₁,…,a₃₀、a₂₀、a₂₁,…,a₃₀各自特點(diǎn)進(jìn)行合情推理.

解：

(1)a₁₀=10,a₂₀=10+10d=40,∴d=3.

(2)a₃₀=a₂₀+10d²=10(1+d+d²)(d≠0),a₃₀=10［(d+)²+］,

    當(dāng)d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時(shí),a₃₀∈［7.5,+∞).

(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{a_n},其中a₁,a₂,…,a₁₀是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,當(dāng)n≥1時(shí),數(shù)列a_10n,a_10n+1,…,a_10(n+1)是公差為dⁿ的等差數(shù)列.研究的問題可以是:試寫出a_10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求a_10(n+1)的取值范圍.

    研究的結(jié)論可以是:由a₄₀=a₃₀+10d³=10(1+d+d²+d³),

    依次類推可得a_10(n+1)=10(1+d+…+dⁿ)=

    當(dāng)d＞0時(shí),a_10(n+1)的取值范圍為(10,+∞)等.