Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n與a_n滿足關(guān)系式：nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2 （n∈N₊）
（1）若a₁=0，求a₂，a₃的值；（2）求證：a₁=0是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）在數(shù)列中，S_n與a_n滿足n=1時(shí)，S₁=a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，所以當(dāng)a₁=0時(shí)，根據(jù)nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2 （n∈N₊），令n=1，可求出S₂，再根據(jù)S₂=a₁+a₂，求出a₂，a₃，求法類似，這樣九可求出a₂，a₃的值．
（2）要證a₁=0是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件，必須證明該條件即是充分條件，又是必要條件，也即證明當(dāng)a₁=0時(shí)，證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，證明a₁=0．證明充分性時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證，步驟，先驗(yàn)證n取第一個(gè)數(shù)時(shí)，命題成立，再假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，根據(jù)已知和假設(shè)證明n=k+1時(shí)，命題成立．證明必要性時(shí)，由當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，找到數(shù)列的遞推公式，再根據(jù)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a_n-a_n-1=d（n≥2），且a_n=a₁+（n-1）d，代入遞推公式，化簡(jiǎn)，即可求出a₁=0．
解答：解：（1）由 nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2  （*）
變形為n（S_n+1-S_n）=2S_n+a_n+2，而S_n是{a_n}前n項(xiàng)和，于是有na_n+1=2S_n+a_n+2，a₁=0，
在n=1，a₂=2a₁+a₁+2=2，則a₂=2，在n=2，2a₃=2（a₁+a₂）+a₂+2=4+4=8，則a₃=4
（2）充分性：由（1）可猜測(cè)到：a_n=2n-2．下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n=2n-2
①在n=1時(shí)，a₁=2×1-2=0 與已知 a₁=0一致 故n=1時(shí)，a_n=2n-2成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，a_n=2n-2成立，
∴S_k=a₁+a₂+…+a_k=0+2+4+…+（2k-1）=k（k-1）
∵（*）式 na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立，則ka_n+1=2S_k+a_k+2=2k（k-1）+（2k-2）+2=2k²
∴a_k+1=2k=2[（k+1）-1]
故n=k+1時(shí)，a_n=2n-2成立，綜合①②可知：a_n=2n-2成立對(duì)n∈N*恒成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=2n-1，∴a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N₊）
由等差數(shù)列定義可知{a_n}是等差數(shù)列，從而充分性得證．
必要性：由（1）可知 na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立，則（n-1）a_n=2S_n-1+a_n-1+2（n≥2）（**）
若{a_n}是等差數(shù)列，則a_n-a_n-1=d（n≥2），且a_n=a₁+（n-1）d．代入（**） 式中有：
n（a_n+1-a_n）=2a_n-a_n-1∴nd=a_n+d=a₁+（n-1）d+d∴a₁=0 從而必要性得證．
因此a₁=0 是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充分條件．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，求數(shù)列中的項(xiàng)，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于綜合題．