Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-2a|，f（x）≤3
（I）當(dāng)a=1時，求f（x）≤3的解集；
（II）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)a=l時，原不等式可化為|2x-1|+|x-2|≤3，分當(dāng)x＞2時、當(dāng)≤x≤2時、當(dāng)x＜時這三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（II）原不等式可化為|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，可得|x-2a|≤4-2x，故3x-4≤2a≤4-x 對x∈[1，2]恒成立，當(dāng)1≤x≤2時，求得3x-4 的最大值和4-x的最小值，可得a的取值范圍．
解答：解：（I）當(dāng)a=l時，原不等式可化為|2x-1|+|x-2|≤3，依題意，
當(dāng)x＞2時，不等式即3x-3≤3，則解得 x≤2，綜合可得，x無解．
當(dāng)≤x≤2時，不等式即 x+1≤3，解得x≤2，綜合可得，≤x≤2．
當(dāng)x＜時，不等式即 3-3x≤3，解得x≥0，綜合可得0≤x＜．
綜上所述：原不等式的解集為[0，2]．----（5分）
（II）原不等式可化為|x-2a|≤3-|2x-1|，∵x∈[1，2]，
所以，|x-2a|≤4-2x，即 2x-4≤2a-x≤4-2x，故3x-4≤2a≤4-x 對x∈[1，2]恒成立，
當(dāng)1≤x≤2時，3x-4 的最大值2，4-x的最小值為2，所以a=1，即a的取值范圍為{1 }． （10分）
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．