已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式（其中e=2.71828…是一個無理數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷奇偶性并證明之；
（3）判斷單調(diào)性并證明之．

解：f（x）==1-
（1）∵e2x+1恒大于零，
∴x∈R
（2）函數(shù)是奇函數(shù)
∵f（-x）==
又由上一問知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，
∴f（x）為奇函數(shù)
（3）是一個單調(diào)遞增函數(shù)
設(shè)x1，x2∈R 且x1＜x2
則f（x1）-f（x2）=1-=
∵x1＜x2，
∴
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R是單調(diào)增函數(shù)
分析：（1）把分子整理變化成和分母相同的一部分，進行分子常數(shù)化，則變量只在分母上出現(xiàn)，根據(jù)分母是一個指數(shù)形式，恒大于零，得到函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．
（2）根據(jù)上一問值函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，從f（-x）入手整理，把負指數(shù)變化為正指數(shù)，就得到結(jié)果，判斷函數(shù)是一個奇函數(shù)．
（3）根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)出兩個任意的自變量，把兩個自變量的函數(shù)值做差，化成分子和分母都是因式乘積的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷差和零的關(guān)系．
點評：本題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的奇偶性的判斷及證明．考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查解決問題的能力，是一個綜合題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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