Question

設(shè)f（x）＞0是定義在區(qū)間I上的減函數(shù)，則下列函數(shù)中增函數(shù)的個數(shù)是y=3-2f（x），y=1+

2

f(x)

y=[f（x）]²，y=1-

f(x)

（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用單調(diào)性的定義注意驗證四個函數(shù)是否為區(qū)間I上的減函數(shù)即可，判斷方法，先設(shè)定義域上任意兩個x₁，x₂，
x₁＜x₂，只需再用作差法比較y₁，y₂的大小即可，比較時，應(yīng)該借助函數(shù)f（x）＞0且是定義在區(qū)間I上的減函數(shù)．

解答：解：∵f（x）＞0且f（x）在I上是減函數(shù)，∴在區(qū)間I上任取兩個x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂）
對于函數(shù)y=3-2f（x），y₁-y₂=3-2f（x₁）-3+2f（x₂）=2f（x₂）-2f（x₁）＜0，
∴y=3-2f（x）是增函數(shù)，
對于函數(shù)y=1+

2

f(x)

，y₁-y₂=1+

2

f(x1)

-1-

2

f(x2)

=

2

f(x1)

-

2

f(x2)

=

2(f(x2)-f(x1) )

f(x1)f(x2)

＜0
∴函數(shù)y=1+

2

f(x)

是增函數(shù)，
對于函數(shù)y=[f（x）]²，y₁-y₂=[f（x₁）]²-[f（x₂）]²=[f（x₁）+f（x₂）][f（x₁）-f（x₂）]
∵f（x）＞0，∴y₁-y₂＞0，∴函數(shù)y=[f（x）]²是減函數(shù)．
對于函數(shù)y=1-

f(x)

，y₁-y₂=1-

f(x1)

-1+

f(x2)

=

f(x2)

-

f(x1)

＜0
∴函數(shù)y=1-

f(x)

為I上的增函數(shù)，
故選C．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，嚴(yán)格按照步驟去做，設(shè)定義域上任意兩個x₁，x₂，x₁＜x₂，再用作差法比較y₁，y₂的大小即可．