【題目】已知橢圓，且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為，最小距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）通過(guò)橢圓的幾何意義得到橢圓的方程；（2）先考慮直線的特殊情況，和軸垂直，和軸平行，通過(guò)這兩種情況得到最終結(jié)果再證明一般情況. 以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為，通過(guò)韋達(dá)定理解決即可。

（1）橢圓方程為.

（2）當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段為直徑的圓的方程為；

當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段為直徑的圓的方程為.

故若存在定點(diǎn)，則的坐標(biāo)只可能為.

下面證明為所求：

若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明.

若直線的斜率存在，設(shè)直線， ，

由得，

，

，

，

.

∴，即以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，橢圓 的離心率為是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足，．

（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)。

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元．該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸．那么在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時(shí)間(x個(gè)月)和市場(chǎng)占有率(y%)的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

x

1

2

3

4

5

y

0.02

0.05

0.1

0.15

0.18

(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì)，并預(yù)測(cè)自上市起經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率能超過(guò)0.5%(精確到月)．

附： ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．若在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“g（x）≥ ”發(fā)生的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分，滿分均為60分．

整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分成組：，，，，，，得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：

B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對(duì)A餐廳評(píng)分低于30的人數(shù)；

（Ⅱ）從對(duì)B餐廳評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人中恰有1人評(píng)分在范圍內(nèi)的概率；

（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓：上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過(guò)的直線交曲線于不同的，兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)，已知，，求的值.

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