Question

（本小題滿分14分）
如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知，M為A₁B與AB_１的交點，N為棱B₁C₁的中點

（１）  求證：MN∥平面AA_１C_１C
（２）  若AC＝AA₁，求證：MN⊥平面A₁BC

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了線面平行的證明與線面垂直的證明的綜合運(yùn)用。
（1）線面平行的證明關(guān)鍵是證明線線平行，結(jié)合判定定理得到結(jié)論。
（2）對于線面垂直的判定，我們可以利用線線垂直，如果一個平面內(nèi)的一條直線垂直于某個平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則線面垂直的定理得到。
⑴連接，因為為與的交點，所以是的中點，又為棱的中點.所以∥，………………………４分
又因為平面，平面，
所以∥平面. …………………………6分

⑵ 因為，所以四邊形是正方形，
所以，又因為是直三棱柱，
所以平面，
因為平面，所以．
又因為，所以，
因為，所以平面，
所以,又平面，………………………………………………8分
因為∥，所以，， ………………………………10分
又，所以平面.……………………………………………14分