Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和長軸長；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線PF的垂線交橢圓C于M，N，記d1 ， d2分別為點(diǎn)M和N到直線OP的距離，證明：d1=d2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，2c=4，c=2， =2b，
由a2=b2+c2 ， 解得a2=6，b2=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，橢圓C的長軸長為 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，m），
則直線PF的斜率 ，
當(dāng)m≠0時(shí)，直線MN的斜率 ，直線MN的方程是x=my﹣2，
當(dāng)m=0時(shí)，直線MN的方程是x=﹣2，也符合x=my﹣2的形式，
設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），將直線MN的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
得 ，消去x，得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
其判別式△=16m2+8（m2+3）＞0，
所以 ， ， ，
設(shè)T為線段MN的中點(diǎn)，則點(diǎn)T的坐標(biāo)為 ，
所以直線OT的斜率 ，
又直線OP的斜率 ，
所以點(diǎn)T在直線OP上，
由三角形全等的判定和性質(zhì)可知：d1=d2
【解析】（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)可知：c=2， =2b，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得直線MN的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知求得MN的中點(diǎn)T，由kOT=kOP ， 由三角形全等的判定和性質(zhì)可知：d1=d2 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．