Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n-a_n，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，后猜想a_n并證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)S_n=2n-a_n，利用遞推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：由a₁=2-a₁，得a₁=1，
由a₁+a₂=2×2-a₂，得a₂=

3

2

，
由a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，得a₃=

7

4

，
由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，得a₄=

15

8

，
猜想a_n=

2n-1

2n-1

證明：（1）當(dāng)n=1，由上面計(jì)算可知猜想成立，
（2）假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
此時(shí)S_k=2k-a_k=2k-

2k-1

2k-1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，S _k+1=2（k+1）-a _k+1，得S_k+a_k+1=2（k+1）-a_k+1，
因此a_k+1=

1

2

[2（k+1）-S_k]=k+1-

1

2

（2k-

2k-1

2k-1

）=

2k+1-1

2(k+1)-1

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
∴a_n=

2n-1

2n-1

．
由（1）（2）可知，a_n=

2n-1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．