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設函數f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍．
解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得 ，
∴f（x）的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 ．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．
“不等式f（x）≥ax在x≥0時恒成立”“g（x）≥g（0）在x≥0時恒成立．”
g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0x=ea﹣1﹣1．
當x∈（﹣1，ea﹣1﹣1）時，g'（x）＜0，g（x）為減函數．
當x∈（ea﹣1﹣1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）為增函數．
“g（x）≥g（0）在x≥0時恒成立”“ea﹣1﹣1≤0”，即ea﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．
故a的取值范圍是（﹣∞，1]．
  
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　�。�

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調研數學試卷（一）（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數的最小值；
（3）設函數g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

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科目：高中數學 來源：2011年江蘇省蘇州市高考數學一模試卷（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數的最小值；
（3）設函數g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

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