Question

1．已知過(guò)點(diǎn)P（-2，1）的直線被橢圓x²+2y²=8截得的弦AB的中點(diǎn)恰好為P，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由題意作圖象，設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x+2），從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+2（2k+1）²-8=0，從而可得x₁+x₂=-$\frac{4k（2k+1）}{1+2{k}^{2}}$=-4，從而解得k=1；從而代入再求解即可．

解答 解：由題意作圖象如下，

設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x+2），
聯(lián)立方程組可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=kx+2k+1}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)可得：（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+2（2k+1）²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=-$\frac{4k（2k+1）}{1+2{k}^{2}}$，
∵弦AB的中點(diǎn)恰好為P，
∴-$\frac{4k（2k+1）}{1+2{k}^{2}}$=-4，
解得，k=1；
故方程可化為3x²+12x+10=0，
故x₁+x₂=-4，x₁x₂=$\frac{10}{3}$，
故|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4×\frac{10}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．