Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，令n=1，得a₂=

3

4

，a₂-a₁-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，再由b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，得到

bn+1

bn

=

an+2-an+1-1

an+1-an-1

=

1

2

．所以b_n}是等比數(shù)列．
（2）由a_n+1-a_n-1=-

3

2

×

1

2n

，知a₂-a₁-1=-

3

2

×

1

2

，a₃-a₂-1=-

3

2

×

1

22

，a_n-a_n-1-1=-

3

2

×

1

2n^-1

，將以上各式相加得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

解答：解：（1）證明：a₁=

1

2

，2a_n+1=a_n+n，
∵a₂=

3

4

，a₂-a₁-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1-1

an+1-an-1

=

an+1+(n+1) 2 - an+n 2 -1

an+1-an-1

=

an+1-an-1 2

an+1-an-1

=

1

2

．
b_n=-

3

4

×（

1

2

）^n-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴{b_n}是以-

3

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）∵a_n+1-a_n-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴a₂-a₁-1=-

3

2

×

1

2

，
a₃-a₂-1=-

3

2

×

1

22

，
∴a_n-a_n-1-1=-

3

2

×

1

2n^-1

，
將以上各式相加得：
∴a_n-a₁-（n-1）=-

3

2

（

1

2

+

1

22

++

1

2n^-1

），
∴a_n=a₁+n-1-

3

2

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2

+（n-1）-

3

2

（1-

1

2n-1

）=

3

2n

+n-2．
∴a_n=

3

2n

+n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加求和法的合理運(yùn)用．