Question

設(shè)函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(

π

3

)|對一切x∈R恒成立，則
①f(

5π

6

)=0；
②|f(

4π

21

)|＞|f(

π

2

)|；
③存在a，b使f（x）是奇函數(shù)；  
④f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z；
⑤經(jīng)過點（a，b）的所有直線與函數(shù)f（x）的圖象都相交．
以上結(jié)論正確的是

①②⑤

．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件求出函數(shù)f（x）的解析式，進而即可判斷出答案．

解答：解：由題意函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(

π

3

)|對一切x∈R恒成立，
可知：當x=

π

3

時，函數(shù)f（x）取得最值|f(

π

3

)|，即|

3

2

a+

1

2

b|=

a2+b2

，化為a=

3

b．
∴f（x）=

3

bsinx+bcosx=2b(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2b(sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

)=2bsin(x+

π

6

)，
∴f(x)=2bsin(x+

π

6

)．（b≠0）．
①由上面可知：f(

5π

6

)=2bsin(

5π

6

+

π

6

)=2bsinπ=0，因此正確；
②∵|f(

4π

21

)|=|2bsin(

4π

21

+

π

6

)|=2|b| |sin

15

42

π|，|f(

π

2

)|=|2bsin(

π

2

+

π

6

)|=2|b| |sin

14π

42

|，
又|sin

15π

42

|＞|sin

14π

42

|，b≠0．
∴|f(

4π

21

)|＞|f(

π

2

)|，故正確．
③∵f（0）=b≠0，故不存在實數(shù)a、b使得函數(shù)f（x0為奇函數(shù)，因此不正確；
④其單調(diào)區(qū)間與b的正負有關(guān)系，因此分別討論，故④不正確；
⑤由f(x)=2bsin(x+

π

6

)(b≠0)，可知函數(shù)f（x）的值域為[-2|b|，2|b|]，因此經(jīng)過點（a，b）的所有直線與函數(shù)f（x）的圖象都相交，正確．
綜上可知：只有①②⑤正確．
故答案為①②⑤．

點評：熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．