Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e，當(dāng)x=-1時，f（x）取得極大值，并且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）試在函數(shù)f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；
（Ⅲ）若，（t∈R₊），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先判斷y=f（x）的圖象關(guān)于原點（0，0）對稱，再根據(jù)x=-1時，f（x）有極值，所以x=1時，f（x）也有極值，所以f（x）=bx³+dx．由得 ，從而可求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)這兩個切點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），并且x₁＜x₂，f'（x）=x²-1，依題意，利用條件x₁，x₂≠1且|x₁|≤，|x₂|≤，可得x₁=0或x₂=0，從而可得函數(shù)f（x）的圖象上兩點的坐標(biāo)；
（Ⅲ）先確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步可證，，從而．
解答：（Ⅰ）解：因y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，
故y=f（x）的圖象關(guān)于原點（0，0）對稱．
故f（x）+f（-x）=0，易得a=c=e=0，故f（x）=bx³+dx．
因為x=-1時，f（x）有極值，所以x=1時，f（x）也有極值．
又f′（x）=3bx²+d=3b（x+1）（x-1）=3bx²-3b，
于是 d=-3b．
又由得 ，
由此解得 ，d=-1，
∴．
（Ⅱ）解：設(shè)這兩個切點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），并且x₁＜x₂，f'（x）=x²-1，
依題意有…（*）
因x₁，x₂≠1且|x₁|≤，|x₂|≤，
故，．
由（*）式得，即．
故，解得或x₂=0．
同理可得或x₁=0．
又因為當(dāng)與同時成立時與（*）式矛盾，
所以x₁=0或x₂=0．
故，或，．
即所求的兩點為或．
（Ⅲ）證明：f′（x）=x²-1，
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；
令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
因，
故f（1）＜f（x）＜f（0）．
即，故；
因，，f（0）=0，，
故，故．
故．
點評：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確運用導(dǎo)數(shù)工具．