Question

在△ABC中，H為垂心，G為重心，O為外心，求證：．

Answer 1

【答案】分析：分析：根據(jù)題意作出圖形，由外心和垂心的性質證明四邊形AHCD是平行四邊形，由向量加法的三角形法則得 =+，由向量相等和向量的減法運算進行轉化，得到 ，再根據(jù)△ABC重心為G滿足 =，結合已知中 ，我們易判斷出 =3 ，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，即可得到O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2即可．
解答：解答：解：如圖：作直徑BD，連接DA、DC，
由圖得，=-，
∵H為△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD為直徑，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四邊形AHCD是平行四邊形，∴=
又∵=-=+，
∴=+=+=++，
∵G為△ABC的重心
∴=3 =3 +=
即 =3
即O，G，H三點共線，且OH=3OG
即O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．
從而得到：．
點評：點評：本題考查的知識點是三角形的五心，其中熟練掌握向量五心的向量表達式形式，如（1）中△ABC外心為O滿足 ，（2）中△ABC重心為G滿足 =，是解答此類問題的關鍵．