Question

某銷售商銷售某品牌手機(jī)，該品牌手機(jī)進(jìn)價(jià)為每部1580元，零售價(jià)為每部1880元．為促進(jìn)銷售，擬采用買一部手機(jī)贈(zèng)送一定數(shù)量禮物的方法，且贈(zèng)送禮物的價(jià)值不超過(guò)180元．統(tǒng)計(jì)表明：在促銷期間，禮物價(jià)值每增加15元（禮物的價(jià)值都是15元的整數(shù)倍，如禮物價(jià)值為30元，可視為兩次增加15元，其余類推），銷售量都增加11%．
（1）當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)變?yōu)樵瓉?lái)不贈(zèng)送禮物時(shí)的多少倍？
（2）試問(wèn)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為多少元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

分析：（1）設(shè)該品牌手機(jī)在不贈(zèng)送禮物的條件下銷售量為m部，則原來(lái)利潤(rùn)為（1880-1580）m元，當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)為（1880-1580-30）m（1+11%）²，兩式相比，可得結(jié)果；
（2）當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為15x元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)為f（x）元，則f（x）=（1880-1580-15x）•m•（1+11%）^x，（x∈N，且x≤12），由f（x）的增減性，得x=10時(shí)，f（x）取得最大值，即獲得最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）設(shè)該品牌手機(jī)在不贈(zèng)送禮物的條件下銷售量為m部，則原來(lái)利潤(rùn)為（1880-1580）m=300m元，
當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)為（1880-1580-30）m（1+11%）²=1.2321×270m，

1.2321×270m

300m

=1.10889，即當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)變?yōu)樵瓉?lái)不贈(zèng)送禮物時(shí)的1.1倍．                                                        
（2）當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為15x元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)為f（x）元，則
f（x）=（1880-1580-15x）•m•（1+11%）^x=15m（20-x）•1.11^x，（x∈N，且x≤12），
∴f（x+1）-f（x）=15m（1.09-0.11x）•1.11^x，
令f（x+1）-f（x）≥0，得x≤9

10

11

，
∵x∈N，且x≤12，
∴當(dāng)x≤9時(shí)，f（x+1）＞f（x），當(dāng)9＜x≤12時(shí)，f（x+1）＜f（x）；
所以，當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為150元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也是指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用函數(shù)的增減性求得函數(shù)的最值．