Question

一個(gè)凸多面體各面都是三角形，各頂點(diǎn)引出的棱的條數(shù)均為4，則這個(gè)多面體只能是（ ）
A．四面體
B．六面體
C．七面體
D．八面體

Answer 1

【答案】分析：多面體的面數(shù)為F，棱數(shù)為E，頂點(diǎn)數(shù)為V，由于已知中各面都是三角形，各頂點(diǎn)引出的棱的條數(shù)均為4，我們可以求出F，E，V之間的關(guān)系，代入歐拉公式V-E+F=2，即可求出V，E，F(xiàn)的值，進(jìn)而得到結(jié)論．
解答：解：設(shè)多面體的面數(shù)為F，棱數(shù)為E，頂點(diǎn)數(shù)為V，
由各面都是三角形，則3F=2E
由各頂點(diǎn)引出的棱的條數(shù)均為4條，則4V=2E
由歐拉定理：V-E+F=2
代入歐拉公式得
E-E+E=2
解得
E=12，則F=E=8
故這個(gè)多面體只能是8面體．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是多面體的幾何特征，其中利用歐拉公式V-E+F=2，及已知中凸多面體各面都是三角形，各頂點(diǎn)引出的棱的條數(shù)均為4，得到的結(jié)論3F=2E，4V=2E，構(gòu)造方程組，是解答本題的關(guān)鍵．解答時(shí)要注意E是棱數(shù)，F(xiàn)才是面數(shù)，以免弄混，而出現(xiàn)錯(cuò)誤．