Question

本題滿分15分）如圖，在矩形中，點分別
在線段上，.沿直線
將翻折成，使平面. 
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四
邊形向上翻折，使與重合，求線段
的長。

Answer 1

，

（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，連結，因為=及H是EF的中點，所以,


又因為平面平面.
如圖建立空間直角坐標系A-xyz
則（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）.   
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
設=（x,y,z）為平面的一個法向量，
       -2x+2y+2z=0
所以
6x=0.
取，則。
又平面的一個法向量，
故。
所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）解：設則，
因為翻折后，與重合，所以，
故，，得，
經(jīng)檢驗，此時點在線段上，
所以。
方法二：
（Ⅰ）解：取線段的中點,的中點,連結。
因為=及是的中點，
所以
又因為平面平面，
所以平面,
又平面,
故，
又因為、是、的中點，
易知∥，
所以，
于是面，
所以為二面角的平面角，
在中，=，=2，=
所以.
故二面角的余弦值為。
（Ⅱ）解：設,
因為翻折后，與重合，
所以，
而，
 
得，
經(jīng)檢驗，此時點在線段上，
所以。