Question

本題滿分15分）如圖，在矩形中，點(diǎn)分別
在線段上，.沿直線
將翻折成，使平面. 
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四
邊形向上翻折，使與重合，求線段
的長(zhǎng)。

Answer 1

，

（Ⅰ）解：取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143412276241.gif" style="vertical-align:middle;" />=及H是EF的中點(diǎn)，所以,


又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143412510289.gif" style="vertical-align:middle;" />平面.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
則（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）.   
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，
       -2x+2y+2z=0
所以
6x=0.
取，則。
又平面的一個(gè)法向量，
故。
所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）解：設(shè)則，
因?yàn)榉�折后�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143411995205.gif" style="vertical-align:middle;" />與重合，所以，
故，，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，
所以。
方法二：
（Ⅰ）解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)。
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143414039344.gif" style="vertical-align:middle;" />=及是的中點(diǎn)，
所以
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143414429374.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面,
又平面,
故，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143413836213.gif" style="vertical-align:middle;" />、是、的中點(diǎn)，
易知∥，
所以，
于是面，
所以為二面角的平面角，
在中，=，=2，=
所以.
故二面角的余弦值為。
（Ⅱ）解：設(shè),
因?yàn)榉�折后�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823143411995205.gif" style="vertical-align:middle;" />與重合，
所以，
而，
 
得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，
所以。