Question

已知f(x)=lnx，（m＜0），直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h(x)= f(x+1)-g′(x)，求函數(shù)h(x)的最大值；
（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，總有。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知，直線的斜率，
∵，故直線與函數(shù)f（x）的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)是(1，0)，
∴直線的方程為y=x-1，
又∵直線與的圖像也相切，
∴由，得，
令，
∵m＜0，
∴解得m=-2。
（Ⅱ），
∴，
∴，
令＞0，解得：-1＜x＜0；
令＜0，解得：x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取得最大值h（0）=2。
（Ⅲ）∵由（II）知：當(dāng)x＞-1時(shí)，，即，
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，
∵，故，
∴。