Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-2msinx+（2m-1）sinxcosx（m為實數(shù)）的定義域為（0，π）．
（I）當(dāng)m=0時，求曲線y=f（x）在點（

π

4

，f（

π

4

））處的切線方程；
（II）若f（x）是增函數(shù)，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把m=0代入解析式化簡，求出導(dǎo)數(shù)、

f′( π 4 )

和

f( π 4 )

的值，代入直線的點斜式方程，再化為一般式方程；
（II）解法一：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由條件和余弦函數(shù)的范圍將問題轉(zhuǎn)化為：（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立，再對m分類討論，利用余弦函數(shù)的范圍求出m的范圍；
解法二：由題意得：f′（x）=2[（2m-1）cos²x-mcosx-（m-1）]＞0在（0，π）上恒成立，令cosx=t，求出-1＜t＜1，代入后構(gòu)造二次函數(shù)g（t）=（2m-1）t²-mt-（m-1），再對m分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出，當(dāng)t∈（-1，1）時g（t）＞0對應(yīng)的m的范圍．

解答：解：（I）當(dāng)m=0時，f(x)=x-

1

2

sin2x，…（1分）
∴f′(x)=1-

1

2

cos2x×2=1-cos2x，∴f′(

π

4

)=1．…（2分）
∵

f( π 4 )= π 4 - 1 2 ，

∴

y=f(x)在點( π 4 ，f( π 4 ))

處的切線方程為：y-(

π

4

-

1

2

)=1×(x-

π

4

)．…（3分）
即2x-2y-1=0．…（4分）
（II）解法一：由題意得：

f′(x)=1-2mcosx+2(m- 1 2 )cos2x

=

2[(2m-1)cos2x-mcosx+1-m]

=2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]
∵f（x）在區(qū)間（0，π）上是增函數(shù)，
∴2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]＞0在（0，π）上恒成立．…（6分）
∵0＜x＜π，∴cosx＜1．即（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立…（7分）
①若m＞

1

2

，則cosx＜

1-m

2m-1

對于x∈（0，π）恒成立，
則只需

1-m

2m-1

≥1，即

1

2

＜m≤

2

3

；…（9分）
②若m=

1

2

，則0•cosx+

1

2

-1＜0對于x∈（0，π）顯然成立；…（10分）
③若m＜

1

2

，則cosx＞

1-m

2m-1

對于x∈（0，π）恒成立，
則只需

1-m

2m-1

≤-1，即0≤m＜

1

2

．…（11分）
綜上所述，所求實數(shù)m的取值范圍是[0，

2

3

]．…（12分）
解法二：∵f（x）在區(qū)間（0，π）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=1-2mcosx+（2m-1）cos2x
=2[（2m-1）cos²x-mcosx-（m-1）]＞0在（0，π）上恒成立．…（6分）
令cosx=t，-1＜t＜1．
設(shè)函數(shù)g（t）=（2m-1）t²-mt-（m-1），
問題轉(zhuǎn)化為g（t）在t∈（-1，1）上恒有g(shù)（t）＞0．…（7分）
①當(dāng)2m-1=0時，即m=

1

2

，則g(t)=-

t

2

+

1

2

，
∵g（t）在（-1，1）上是減函數(shù)，
∴g（t）＞g（1）=-

1

2

+

1

2

=0，
即當(dāng)-1＜t＜1時g（t）＞0恒成立．…（8分）
②當(dāng)2m-1＞0即m＞

1

2

時，
分三種情況：
第一種情況：

m＞ 1 2 - -m 2(2m-1) ≥1 g(1)≥0

，即

m＞ 1 2 3m-2≤0 (2m-1)×1-m×1-(m-1)≥0.

解之得：

1

2

＜m≤

2

3

．
第二種情況：

m＞ 1 2 - -m 2(2m-1) ＜-1 g(-t)≥0.

，即

m＞ 1 2 m＜ 2 5 m≥0.

無解．
第三種情況：

m＞ 1 2 -1＜- -m 2(2m-1) ＜1 g(- -m 2(2m-1) )＞0.

即

m＞ 1 2 m＞ 2 3 (3m-2)2＜0

無解．…（10分）
③當(dāng)2m-1＜0即m＜

1

2

時

m＜ 1 2 g(1)≥0 g(-1)≥0.

解之得0≤m＜

1

2

．…（11分）
故所求實數(shù)m的取值范圍是[0，

2

3

]．…（12分）

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程求法，余弦函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，涉及了分類討論思想和換元法，一題多解，綜合性較強，難度大．