Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=2，an+1=2-

1

an

，n=1，2，3，4，…．
（1）求證：數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令Tn=

n

i=1

ai+1

ai

，證明：Tn＞n-

3

4

．

Answer 1

分析：本題考查了由數(shù)列{a_n}遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和以及運(yùn)用“構(gòu)造數(shù)列法”解題．
（1）這種證明實(shí)際上是在提示利用遞推公式和構(gòu)造數(shù)列的方式把非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列，為（2）中獲取通項(xiàng)公式提供了方向，在此基礎(chǔ)上可以先求得數(shù)列{

1

an-1

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
對(duì)于（3）其含義是構(gòu)造數(shù)列{

ai+1

ai

}并求其前n項(xiàng)的和，得出{

ai+1

ai

}的通項(xiàng)公式后就可發(fā)現(xiàn)，可以用裂項(xiàng)求和的方式．

解答：（1）證明：∵an+1=2-

1

an

，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

=

an-1

an-1

=1．
∴數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列．
（2）由（1）得，{

1

an-1

}為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為

1

2-1

=1．
∴

1

an-1

=1+(n-1)=n．∴an=1+

1

n

=

n+1

n

．
（3）∵an+1=

n+2

n+1

，∴

an+1

an

=

n(n+2)

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

．
∴Tn=n-[

1

22

+

1

32

+

1

42

++

1

(n+1)2

]．
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＞n-[

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

]=n-

3

4

+

1

n+1

＞n-

3

4

.
當(dāng)n=1時(shí)，T1=1-

1

22

=

3

4

＞1-

3

4

.綜上所述：Tn＞n-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：遞推數(shù)列問題成為高考的熱點(diǎn)問題，對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，通常可以對(duì)遞推公式變形轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，解答此類問題通常用構(gòu)造法，及構(gòu)造數(shù)列的方法，為減緩難度，題目一般給出臺(tái)階，比如本題的（1）；
本題（3）同樣是給出了一種構(gòu)造方式，其目的是為了考查裂項(xiàng)求和，注意當(dāng)n≥2時(shí)，

an+1

an

=

n(n+2)

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

＞1-

1

n(n+1)

=1-（

1

n

-

1

n+1

）的解題思路．