如圖所示的樹形圖形中,第一層是一條與水平線垂直的線段,長(zhǎng)度為1;第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成135°的線段,長(zhǎng)度為其一半;第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段;……重復(fù)前面的作法作圖至第層.設(shè)樹形圖的第層的最高點(diǎn)到水平線的距離為第層樹形圖的高度.

(1)求第三層及第四層樹形圖的高度H3,H4;

(2)求第層樹形圖的高度;

(3)若樹形圖的高度大于2,則稱樹形圖為“高大”,否則稱為“矮小”.顯然,當(dāng)=1,2時(shí),樹形圖是“矮小”的.是否存在m∈Z,使得當(dāng)時(shí),該樹形圖是“高大”的?

解:(1)設(shè)題中樹形圖(從上而下)新生的各層高度所構(gòu)成的數(shù)列為{},

,

       所以,第三層樹形圖的高度

       第四層樹形圖的高度

       (2)易知,所以第層樹形圖的高度為

       所以,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),第層樹形圖的高度為

        

      =;

       當(dāng)為偶數(shù)時(shí),第層樹形圖的高度為

      

     =

(3)不存在.

由(2)知,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),

;

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),

,

由定義知,此樹形圖永遠(yuǎn)是“矮小”的.所以不存在m∈Z.使得當(dāng)時(shí),

該樹形圖是“高大”的.

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