Question

如果函數(shù)（b，c∈N*），滿足f（0）=0，f（2）=2，且f（-2）＜．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）是否存在各項均不為零的數(shù)列{a_n}滿足，（S_n為該數(shù)列的前n項的和），如果存在，寫出數(shù)列的一個通項公式a_n，并說明滿足條件的數(shù)列{a_n}是否唯一確定；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)（b，c∈N*），滿足f（0）=0，f（2）=2，
∴-=0，=2，∴a=0，2b-c=2，∵f（-2）＜，∴2b+c＜8，
∴（2b-c）+（2b+c）＜10，∴b=1，且c=0 （舍去），或 b=2，c=2，
綜上，a=0，b=2，c=2，∴f（x）=．
（2）∵f（）==，∵，∴4s_n=2a_n-2a_n²，
∴s_n=，令n=1，得 a₁=0（舍去） 或 a₁=-1，當(dāng)n≥2時，
a_n =s_n-s_n-1 =-，∴a_n-a_n-1=-1，
∴數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，通項公式是 a_n=-1+（n-1）d=-1+（n-1）（-1）=-n，
∴滿足條件的數(shù)列{a_n}是唯一確定的．
分析：（1）由條件f（0）=0，f（2）=2，且f（-2）＜，及b，c∈N^*，求出解析式中的待定系數(shù)．
（2）先求出f（）的解析式，得到s_n與通項a_n的關(guān)系，再根據(jù)a_n =s_n-s_n-1，
判斷數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，寫出通項公式，由此得出結(jié)論．
點評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，由遞推關(guān)系求函數(shù)的同項公式．