已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3
（I）若對?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（II）證明：x∈（0，+∞）時．
【答案】分析：（I）分離出參數(shù)a，構造函數(shù)h（x）=，通過導數(shù)求出h（x）的單調性，進一步求出函數(shù)的最小值，得到a的范圍；
（II）將要證的不等式等價轉化為xlnx，求不等式左邊的函數(shù)的最小值，和不等式右邊函數(shù)的最大值，得到左邊的最小值等于右邊的最大值，不等式得證．
解答：解：（Ⅰ）由2f（x）≥g（x）得2xlnx≥-x2+ax-3，由于x＞0
則a，設h（x）=，

當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，當x＞1時h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
因而h（1）最小為4，那么a≤4；
（II）要證明，，即證xlnx，
∵f′（x）=lnx+1=0時x=，f（x）的最小值為f（=，
設φ（x）=，
φ′（x）=時x=1，φ（x）的最大值為φ（1）=
f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，即xlnx，
因而．
點評：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，一般的方法是分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最值；證明不等式常通過構造函數(shù)求函數(shù)的最值，屬于一道難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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