分析 (1)根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可.
(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可.
解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$,g(x)=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$.
∴f(y)=$\frac{{2}^{y}-{2}^{-y}}{2}$,g(y)=$\frac{{2}^{y}+{2}^{-y}}{2}$,
則f(x)g(y)+f(y)g(x)=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{y}+{2}^{-y}}{2}$+$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{y}-{2}^{-y}}{2}$
=$\frac{{2}^{x}{2}^{y}+{2}^{x}{2}^{-y}-{2}^{-x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}}{4}$+$\frac{{2}^{x}{2}^{y}-{2}^{x}{2}^{-y}+{2}^{-x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}}{4}$
=$\frac{2({2}^{x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y})}{4}$=$\frac{{2}^{x+y}-{2}^{-(x+y)}}{2}$,
∵f(x+y)=$\frac{{2}^{x+y}-{2}^{-(x+y)}}{2}$.
∴f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x);
(2)∵g(-x)=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{2}$=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g(x),
∴函數(shù)g(x)為偶函數(shù),
當(dāng)x≥0時(shí),設(shè)0≤x1<x2,
則g(x1)-g(x2)=$\frac{1}{2}$(${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$)
=$\frac{1}{2}$(${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$)
=$\frac{1}{2}$(${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$)•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$,
∵0≤x1<x2,
∴1≤${2}^{{x}_{1}}$<${2}^{{x}_{2}}$,
則${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$<0,${2}^{{x}_{1}}$•${2}^{{x}_{2}}$>1•
則g(x1)-g(x2)<0,
即g(x1)<g(x2),
即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
則函數(shù)g(x)在(-∞,0]為減函數(shù).
點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)式的證明以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷,利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵.運(yùn)算量比較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | m≤-1 | B. | m<-1 | C. | m≤-2015 | D. | m<-2015 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 4 | C. | 12 | D. | 10 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | C. | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | D. | 2$\sqrt{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (5,7) | B. | (4,6) | C. | (5,9) | D. | (4,7) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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