2.已知:函數(shù)f(x)=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$,g(x)=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$.
(1)求證:f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x);
(2)試討論函數(shù)g(x)的奇偶性與單調(diào)性.

分析 (1)根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可.
(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可.

解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$,g(x)=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$.
∴f(y)=$\frac{{2}^{y}-{2}^{-y}}{2}$,g(y)=$\frac{{2}^{y}+{2}^{-y}}{2}$,
則f(x)g(y)+f(y)g(x)=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{y}+{2}^{-y}}{2}$+$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{y}-{2}^{-y}}{2}$
=$\frac{{2}^{x}{2}^{y}+{2}^{x}{2}^{-y}-{2}^{-x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}}{4}$+$\frac{{2}^{x}{2}^{y}-{2}^{x}{2}^{-y}+{2}^{-x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y}}{4}$
=$\frac{2({2}^{x}{2}^{y}-{2}^{-x}{2}^{-y})}{4}$=$\frac{{2}^{x+y}-{2}^{-(x+y)}}{2}$,
∵f(x+y)=$\frac{{2}^{x+y}-{2}^{-(x+y)}}{2}$.
∴f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x);
(2)∵g(-x)=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{2}$=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g(x),
∴函數(shù)g(x)為偶函數(shù),
當(dāng)x≥0時(shí),設(shè)0≤x1<x2,
則g(x1)-g(x2)=$\frac{1}{2}$(${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$)
=$\frac{1}{2}$(${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$)
=$\frac{1}{2}$(${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$)•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$,
∵0≤x1<x2,
∴1≤${2}^{{x}_{1}}$<${2}^{{x}_{2}}$,
則${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$<0,${2}^{{x}_{1}}$•${2}^{{x}_{2}}$>1•
則g(x1)-g(x2)<0,
即g(x1)<g(x2),
即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
則函數(shù)g(x)在(-∞,0]為減函數(shù).

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)式的證明以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷,利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵.運(yùn)算量比較大.

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12.函數(shù)g(x)=2015x+m圖象不過第二象限,則m的取值范圍是( 。
A.m≤-1B.m<-1C.m≤-2015D.m<-2015

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13.已知圓Г過點(diǎn)(1,1)、(1,3)、(2,2),P是圓Г的一個(gè)動點(diǎn),若A(-3,4),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為( 。
A.0B.4C.12D.10

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10.設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$,且∠AOB=$\frac{π}{3}$,|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|=2,若|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=2|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|,則|$\overrightarrow{c}$|max-|$\overrightarrow{c}$|min=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

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17.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點(diǎn),則直線AE與平面ABCD所成角的正切值為( 。
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14.利用信息技術(shù)作出函數(shù)的圖象,并指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間:
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(3)f(x)=ex-1+4x-4;
(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.

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11.一艘貨船從A點(diǎn)出發(fā),以v km/h的速度向垂直于岸邊DC的方向行駛,同時(shí)河水的流速為2km/h,河水流動的方向?yàn)?\overrightarrow{AB}$,貨船實(shí)際航行的方向?yàn)?\overrightarrow{AC}$,而且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AB}$的夾角為$\frac{π}{3}$,求v.

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