Question

在等比數(shù)列{a_n} 中，已知a₁=

2

3

，a₃a₄=-108，則

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

9

8

．

Answer 1

分析：由已知可求等比數(shù)列{a_n}的公比q，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

為首項，

1

q

為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可求

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，進(jìn)而可求極限

解答：解：∵a₁=

2

3

，
∴a₃a₄=(

2

3

)2q5=-108
∴q=-3
由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列{

1

an

}是以

3

2

為首項，-

1

3

為公比的等比數(shù)列
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

3 2 [1- 1 (-3)n ]

1+ 1 3

∴

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

lim

n→∞

3 2 [1- 1 (-3)n ]

1+ 1 3

=

9

8

故答案為：

9

8

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的求解，還考查了數(shù)列極限的求解．