Question

(2005福建，21)如下圖，已知方向向量為的直線l過點(diǎn)(0，)和橢圓C：(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在過點(diǎn)E(－2，0)的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足．若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)直線．　　　　　　　　　　　　�、� 過原點(diǎn)垂直l的直線方程為．　　　　　　　　　　　　　② 解①②得． ∵橢圓中心O(0，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∴． ∵直線l過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)． ∴c=2，，． 故橢圓C的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　③ 解法二：直線． 設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為(p，q)，則 解得p=3．∵橢圓中心O(0，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．∴． ∵直線l過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)． ∴c=2，，．故橢圓C的方程為．　　　　　　�、� (2)解法一：設(shè)M(，)、N(，)． 如下圖，當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m∶y=k(x＋2)代入③，整理得， ∴，， 點(diǎn)O到直線MN的距離． ∵， 即， ∴． ∴．∴， 即，整理得．故， 如下圖，當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足． 故直線m的方程為 或． 經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足． 所以所求直線方程為． 解法二：設(shè)M(，)、N(，)． 當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m∶y=k(x＋2)代入③，整理得，于是． ∵E(－2，0)是橢圓C的左焦點(diǎn)， ∴ ． 以下與解法一相同．

提示：

剖析：本題考查向量、橢圓及對(duì)稱等綜合知識(shí)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系．