設f（x）=|lgx|，a，b為實數(shù)，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b滿足f（a）=f（b）=2f（
a+b2
），試寫出a與b的等量關系（至少寫出兩個）；
（3）在（2）的基礎上，證明在這一關系中存在b滿足3＜b＜4．
分析：（1）根據(jù)對數(shù)方程直接可求出x的值；
（2）結合函數(shù)圖象，由f（a）=f（b）可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），去絕對值可得a與b的一個等量關系，根據(jù)條件可求出另一個a與b的等量關系；
（3）由b=（
a+b
2
）2得
1
b2
+b2+2-4b=0，令g（b）=
1
b2
+b2+2-4b，根據(jù)g（3）＜0，g（4）＞0，根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)g（b）在（3，4）內一定存在零點．
解答：解：（1）由f（x）=1得，lgx=±1所以x=10或
1
10
…..4分
（2）結合函數(shù)圖象，由f（a）=f（b）可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），…..5分
從而-lga=lgb，從而ab=1…..6分
又
a+b
2
=
1
b
+b
2
，…..7分
因為b∈（1，+∞），所以
a+b
2
＞1…..8分
從而由f（b）=2f（
a+b
2
）
可得lgb=2lg
a+b
2
=lg（
a+b
2
）2，…..9分
從而b=（
a+b
2
）2…..10分
（3）由b=（
a+b
2
）2
得4b=a2+b2+2ab…..11分
1
b2
+b2+2-4b=0…..12分
令g（b）=
1
b2
+b2+2-4b，…..14分
因為g（3）＜0，g（4）＞0，根據(jù)零點存在性定理可知，…..15分
函數(shù)g（b）在（3，4）內一定存在零點，
即方程
1
b2
+b2+2-4b=0存在3＜b＜4的根．…..16分．
點評：本題主要考查了對數(shù)的運算性質，以及函數(shù)零點的判定定理，同時考查了函數(shù)的圖象，以及轉化的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

6、設f（x）=|lgx|，若0＜a＜b＜c且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列關系①ac+1＞a+c，②ac+1＜a+c，③ac+1=a+c，④ac＜1中正確的是
②④
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

14、某同學在借助計算器求“方程lgx=2-x的近似解（精確到0.1）”時，設f（x）=lgx+x-2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下過程中，他用“二分法”又取了4個x的值，計算了其函數(shù)值的正負，并得出判斷：方程的近似解是x≈1.8．那么他再取的x的4個值分別依次是
1.5，1.75，1.875，1.8125
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在借助計算器求“方程lgx=2-x的近似解（精確到0.1）”時，設f（x）=lgx+x-2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下過程中，他用“二分法”又取了x的4個不同值，計算了其函數(shù)值的正負，并得出判斷：方程的近似解是x≈1.8．那么他又取的x的4個不同值中的前兩個值依次為
1.5、1.75
1.5、1.75
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學用“二分法求方程lgx=2-x的近似解”時，設f（x）=lgx+x-2，算得f（1）＜0，f（2）＞0，則下一個有零點的區(qū)間是
（
3
2
，2）
（
3
2
，2）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），則a•b=
1
1
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案