Question

已知某企業(yè)的原有產(chǎn)品每年投入x萬(wàn)元，可獲得的年利潤(rùn)表示為函數(shù)：P(x)=-

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(x-30)2+20（萬(wàn)元）．現(xiàn)準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)一個(gè)回報(bào)率高，科技含量高的新產(chǎn)品從“十一五”計(jì)劃（此計(jì)劃歷時(shí)5年）的第一年開(kāi)始，用兩年的時(shí)間完成．這兩年，每年從100萬(wàn)元的生產(chǎn)準(zhǔn)備金中拿出80萬(wàn)元投入新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)，從第三年開(kāi)始這100萬(wàn)元就可全部用于新舊兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)投入．經(jīng)預(yù)測(cè)，新產(chǎn)品每年投入x萬(wàn)元，可獲得的年利潤(rùn)表示為函數(shù)：Q(x)=-

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(100-x)2+48(100-x)（萬(wàn)元）．
（1）為了解決資金缺口，第一年初向銀行貸款1000萬(wàn)元，年利率為5.5%（不計(jì)復(fù)利），第五年底一次性向銀行償還本息共計(jì)多少萬(wàn)元？
（2）從新產(chǎn)品投入生產(chǎn)的第三年開(kāi)始，從100萬(wàn)元的生產(chǎn)準(zhǔn)備金中，新舊兩種產(chǎn)品各應(yīng)投入多少萬(wàn)元，才能使后三年的年利潤(rùn)最大？
（3）從新舊產(chǎn)品的五年最高總利潤(rùn)中拿出70%來(lái)，能否還清對(duì)銀行的欠款？

Answer 1

分析：（1）由于年利率為5.5%，且不計(jì)復(fù)利，故可求所還利息，從而可求第五年底一次性向銀行償還的本息；
（2）設(shè)從第三年起每年舊產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，新產(chǎn)品投入100-x萬(wàn)元，則舊產(chǎn)品投入的年利潤(rùn)為P(x)=[-

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(x-30)2+20]，新產(chǎn)品投入的年利潤(rùn)為Q(100-x)=[-

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(100-100+x)2+48(100-100+x)]
從而可表達(dá)每年的年利潤(rùn)；
（3）因?yàn)镻（x）在（0，30）上為增函數(shù)，所以可計(jì)算前兩年利潤(rùn)、后三年利潤(rùn)，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．

解答：解：（1）1000+1000×5.5%×5=1275（萬(wàn)元）--（5分）
（2）設(shè)從第三年起每年舊產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，新產(chǎn)品投入100-x萬(wàn)元，--（7分）
則每年的年利潤(rùn)y=P(x)+Q(100-x)=[-

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(x-30)2+20]+[-

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(100-100+x)2+48(100-100+x)]
=-（x-27）²+659．--（10分）
所以投入舊產(chǎn)品27萬(wàn)元，投入新產(chǎn)品73萬(wàn)元時(shí)，每年可獲最大利潤(rùn)659萬(wàn)元．--（12分）
（3）因?yàn)镻（x）在（0，30）上為增函數(shù)，
所以前兩年利潤(rùn)為y₁=2P（20）=20（萬(wàn)元）
后三年利潤(rùn)y₂=3[P（27）+Q（73）]=3×659=1977（萬(wàn)元）--（15分）
由（20+1977）×70%=1397.9＞1275，故能還清對(duì)銀行的欠款．--（17分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的建立，同時(shí)利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．