如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

（1）求證：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）證明：在線段上存在點，使∥平面，并求的長.
（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．．

試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，如，雖然題中沒有給出多少垂直關(guān)系，但有線段的長度，實際上在中應用勾股定理就能證明，同理可證，于是可得平面；（2）由于在（1）已經(jīng)證明了兩兩垂直，因此解決下面的問題我們可以通過建立空間直角坐標系，利用空間向量法解題.以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，，，，，，，這樣我們只要求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角相等可互補可得所求二面角大�。唬�3）線段上的點的坐標可寫為，這樣若有平面，即與（2）中所求平面的法向量垂直，由此可出，若，說明在線段上存在符合題意的點，否則就是不存在.
試題解析：（1）證明：，，
，同理      2分
又，平面.     4分
（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則       6分
平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為                 7分
，由，，取 ，  8分
設(shè)二面角的平面角為
，二面角的余弦值為.     10分
（3）假設(shè)存在點，使∥平面，
令，      12分
 由∥平面，，解得
存在點為的中點，即．     14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（2013•浙江）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，，
為中點，上一點，且.
（1）當時，求證：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，且．
現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．

（1）求證：∥平面;
（2）求證：;
（3）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1,在直角梯形中,,,,點為中點.將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.

（1）在上找一點,使平面;
（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在幾何體ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點，MC∥AE，且AE＝MC＝.

(1)求證：平面BCD⊥平面CDE；
(2)若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

[2013·廣東高考]設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(　　)
A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直二面角α－l－β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于(　　)
A．B．C．D．1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(    )
A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β

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