Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，短軸長(zhǎng)為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用

2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2

解出

a=2 b= 3

即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出關(guān)于點(diǎn)M、N坐標(biāo)之間的等式，再代入AM⊥AN對(duì)應(yīng)的等式即可求出m和k之間的關(guān)系，進(jìn)而證得直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，則

2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由方程組

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．（6分）
由題意△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0①（7分）
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．（8分）
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．　　　�。�10分）
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
也即(1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(km-2)•

-8km

3+4k2

+m2+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0．
解得m=-2k或m=-

2k

7

，均滿足①（11分）
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l的方程為y=kx-2k，過(guò)定點(diǎn)（2，0），不符合題意舍去；
當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)，直線l的方程為y=k(x-

2

7

)，過(guò)定點(diǎn)(

2

7

，0)，
故直線l過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2

7

，0)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線過(guò)定點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想．