Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對?x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，0）
• C、（-∞，3]
• D、（0，3]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由條件可得 函數(shù)f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤3時(shí)，當(dāng)a＞3時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到a≤3．

解答： 解：∵對于任意x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函數(shù)．
由函數(shù)f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a ax-x2，x＜a

，
當(dāng)a≤3時(shí)，f（x）=x²-ax（x≥3）在（

a

2

，+∞）遞增，則在[3，+∞）遞增；
當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（a，+∞），減區(qū)間為（-∞，a），即有f（x）在[3，+∞）先減后增．
綜上可得，a≤3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，掌握分類討論的思想方法和兩區(qū)間的包含關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．