Question

5．設動點P到定點F（0，$\frac{1}{4}$）的距離與它到直線y=-$\frac{1}{4}$的距離相等，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過（-2，0）的直線l與軌跡C交于M，N兩點，又過M，N作軌跡C的切線l₁，l₂，當l₁⊥l₂時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）P到定點F（0，$\frac{1}{4}$）的距離與它到直線y=-$\frac{1}{4}$的距離，曲線C是以原點為頂點，F(xiàn)為焦點的拋物線，即可求動點P的軌跡C的方程；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），因為y′=2x，故兩切線的斜率分別為2x₁、2x₂．由方程組得x²-kx-2k=0，然后由根與系數(shù)的關系能夠?qū)С鲋本�l的方程．

解答 解：（1）依題意，P到定點F（0，$\frac{1}{4}$）的距離與它到直線y=-$\frac{1}{4}$的距離，
曲線C是以原點為頂點，F(xiàn)為焦點的拋
物線，p=$\frac{1}{2}$…..（2分）
曲線C方程是x²=y…..（4分）
（2）顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為：y=k（x+2）．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因為y′=2x，故兩切線的斜率分別為2x₁、2x₂．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=y}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$
得x²-kx-2k=0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-2k．
當l₁⊥l₂時，4x₁x₂=-1，所以k=$\frac{1}{8}$．
所以，直線l的方程是y=$\frac{1}{8}$（x+2）．　…（14分）

點評 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應用，解題時要注意挖掘隱含條件，根據(jù)實際情況注意公式的靈活運用．