Question

設橢圓C：+=1的左焦點為F，左準線為l，一條直線過點F與橢圓C交于A，B兩點，若直線l上存在點P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．

Answer 1

解：如圖，∵F（-，0），l：x=-2，離心率e=．設過點F的弦AB的中點為M，分別過A，B，M向準線l作垂線，垂足分別為A₁，B₁，M₁，則|MM₁|=（|AA₁|+|BB₁|）=（+）=|AB|，又因為△PAB為等邊三角形?|PM|=|AB|，所以=，


即cos∠PMM₁=，
∴sin∠PMM₁=，tam∠PMM₁=，
又k_PM=±tam∠PMM₁=±
∵AB⊥PM，∴k_AB=-=±，
又AB過點F（-，0），所以AB的方程為y=±（x+）．
即直線AB的方程為：，或．
分析：設過點F的弦AB的中點為M，分別過A，B，M向準線l作垂線，垂足分別為A₁，B₁，M₁，則|MM₁|=（|AA₁|+|BB₁|）=（+）=|AB|，又因為△PAB為等邊三角形?|PM|=|AB|，所以=，cos∠PMM₁=，由此能求出AB的方程．
點評：本題考查圓錐曲線的基本幾何量的求法，如焦點、準線、離心率等．考查直線與圓錐曲線的基本問題的研究方法，如弦長計算、弦中點坐標求法等．考查圓錐曲線的定義的靈活應用．