Question

如圖：在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線CD₁與B₁E所成角的余弦值．
（2）求二面角D-EF-B₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，分別求出異面直線CD₁與B₁E的方向向量，代入向量夾角公式可得異面直線CD₁與B₁E所成角的余弦值．
（2）分別求出平面B₁EF的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夾角公式可得鈍二面角D-EF-B₁的大�。�

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz
∴D（0，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），
E（4，2，0），F(xiàn)（2，4，0），B₁（4，4，2）
（1）∵

CD1

=(0，-4，2)，

B1E

=(0，-2，-2)，
|

CD1

|=2

5

，|

B1E

|=2

2

設(shè)異面直線CD₁與B₁E所成角為θ
∴cosθ=|cos＜

CD1

，

B1E

＞|=

4

2 5 •2 2

=

10

10

∴CD₁與B₁E所成角的余弦值為

10

10

…（4分）
（2）設(shè)

n

=(x，y，z)是平面B₁EF的法向量．
∴

n ⊥ EF n ⊥ B1E

∴

(x，y，z)•(-2，2，0)=0 (x，y，z)•(0，-2，-2)=0

∴

-2x+2y=0 -2y-2z=0

令y=1，可得

n

=(1，1，-1)
又∵DD₁⊥平面EDF．
∴

m

=(0，0，1)是平面EDF的法向量．
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

-1

3

|=

3

3

∵D-EF-B₁是鈍角
∴二面角D-EF-B₁的大小為π-arccos

3

3

…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題以長(zhǎng)方體為載體考查了用空間向量求平面間的夾角及用空間向量求直線間夾角等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．（2）中易忽略二面角D-EF-B₁為鈍二面角而錯(cuò)解為arccos

3

3

．