Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）求導(dǎo)函數(shù)，可得，從而xf′（x）≤x²+ax+1可轉(zhuǎn)化為lnx-x≤a，令g（x）=lnx-x，求出函數(shù)的最值，即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0，可證0＜x＜1時(shí)，f（x）≤0；x≥1時(shí)，f（x）≥0，從而可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
題設(shè)xf′（x）≤x²+ax+1等價(jià)于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，則g′（x）=．…（4分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值點(diǎn)，
∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分）
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分）
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，考查不等式的證明，屬于中檔題．