已知平面α⊥平面β,平面α⊥平面γ,且β∩γ=a,求證:a⊥α.

答案:
解析:

  證法1:如下圖:在α內(nèi)取一點P,作PA⊥β于A,PB⊥γ于B,

  PAa,PBa,又PAα,PBα,PAPBP,∴a⊥α.

  證法2:如下圖,在a上任取一點Q,作QC⊥α于C,∵β∩γ=a,∴Q∈β,

  又β⊥α,∴QCβ,同理可證QCγ,∴QC為β與γ的交線a,∴a⊥α.

  證法3:如下圖,在a上取點R,在β內(nèi)作RD垂直于α、β的交線lD,

  RD⊥α,同法在γ內(nèi),作RE垂直于α,交α與γ的交線mE,則RE⊥α,過平面外一點,作這個平面的垂線是惟一的,∴RD、RE重合,則它既包含于β,又包含于γ,

  a⊥α.

  證法4:如下圖,在β、γ內(nèi)分別取MN分別作α、β的交線l和α、γ的交線m的垂線cd,則c⊥α,d⊥α,cd,ca,∴a⊥α.

  點評:此題是線線,線面,面面垂直轉(zhuǎn)化典型題,多解題,對溝通知識和方法,開拓解題思路是有益的.


提示:

此題需要作出輔助線,可有多種證明方法.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

16、如圖:已知平面α∥平面β,點A、B在平面α內(nèi),點C、D在β內(nèi),直線AB與CD是異面直線,點E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點,求證:
(Ⅰ)E、F、G、H四點共面;
(Ⅱ)平面EFGH∥平面β.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合,對于映射f:V→V,a∈V,記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足:對所有a、b∈V及任意實數(shù)λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),則f稱為平面M上的線性變換.下列命題中假命題是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列四個命題
①過平面外一定點有且只有一個平面與已知平面垂直;
②過空間一定點有且只有一條直線與已知平面垂直;
③過平面外一定直線有且只有一個平面與已知平面垂直;
④垂直于同一平面的兩個平面可能互相平行,也可能相交;
⑤垂直于同一條直線的兩個平面平行;
⑥平行于同一個平面的兩直線不是平行就是相交.
其中正確命題的序號為
②④⑤
②④⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年湖南長沙重點中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知下列四個命題,其中真命題的序號是(    )

① 若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個平面垂直;

② 若一條直線平行于一個平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面;

③ 若一條直線平行一個平面,另一條直線垂直這個平面,則這兩條直線垂直;

④ 若兩條直線垂直,則過其中一條直線有唯一一個平面與另外一條直線垂直;

A.①②        B.②③         C.②④         D.③④

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

如圖:已知平面//平面,點A、B在平面內(nèi),點C、D在內(nèi),直線AB與CD是異面直線,點E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點,

求證:(Ⅰ)E、F、G、H四點共面;

(Ⅱ)平面EFGH//平面.

 

 

 

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