已知平面α⊥平面β,平面α⊥平面γ,且β∩γ=
a,求證:a⊥α.
證法1:如下圖:在α內(nèi)取一點P,作PA⊥β于A,PB⊥γ于B, 則 PA⊥a,PB⊥a,又PAα,PBα,PA∩PB=P,∴a⊥α.證法2:如下圖,在a上任取一點Q,作QC⊥α于C,∵β∩γ=a,∴Q∈β, 又β⊥α,∴ QCβ,同理可證QCγ,∴QC為β與γ的交線a,∴a⊥α.證法3:如下圖,在a上取點R,在β內(nèi)作RD垂直于α、β的交線l于D, ∴ RD⊥α,同法在γ內(nèi),作RE垂直于α,交α與γ的交線m于E,則RE⊥α,過平面外一點,作這個平面的垂線是惟一的,∴RD、RE重合,則它既包含于β,又包含于γ,∴ a⊥α.證法4:如下圖,在β、γ內(nèi)分別取M、N分別作α、β的交線l和α、γ的交線m的垂線c,d,則c⊥α,d⊥α,c∥d,c∥a,∴a⊥α. 點評:此題是線線,線面,面面垂直轉(zhuǎn)化典型題,多解題,對溝通知識和方法,開拓解題思路是有益的. |
此題需要作出輔助線,可有多種證明方法. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年湖南長沙重點中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知下列四個命題,其中真命題的序號是( )
① 若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個平面垂直;
② 若一條直線平行于一個平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面;
③ 若一條直線平行一個平面,另一條直線垂直這個平面,則這兩條直線垂直;
④ 若兩條直線垂直,則過其中一條直線有唯一一個平面與另外一條直線垂直;
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖:已知平面//平面,點A、B在平面內(nèi),點C、D在內(nèi),直線AB與CD是異面直線,點E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點,
求證:(Ⅰ)E、F、G、H四點共面;
(Ⅱ)平面EFGH//平面.
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